Article de niveau licence.

On a vu dans l’article sur la marche aléatoire de l’ivrogne que les probabilités étaient les suivantes après N pas aléatoires à gauche ou à droite :

  • pour N=3 : (1/8, 3/8, 3/8, 1/8),
  • pour N=4 : (1/16, 4/16, 6/16, 4/16, 1/16)
  • pour N=5 : (1/32, 5/32, 10/32, 10/32, 5/32, 1/32)
  • pour N=6 : (1/64, 6/64, 15/64, 20/64, 15/64, 6/64, 1/64)

Plus généralement, au bout de N pas, pour arriver à l’abscisse a, l’ivrogne doit effectuer n_g pas vers la gauche et n_d pas vers la droite tel que n_g+n_d=N et n_d-n_g=a.

Si N et a sont fixés, alors les valeurs de n_g et n_d le sont également : n_d=\frac{N+a}{2} et n_g=\frac{N-a}{2}. Il reste alors à choisir quelles étapes correspondent à des pas vers la gauche c’est-à-dire à distinguer des trajectoires comme DDDG, DDGD, DGDD et GDDD. Il faut choisir les n_g pas dirigés vers la gauche parmi N étapes. On a donc C_N^{n_g} trajectoires permettant d’arriver à l’abscisse a au bout de N pas. Or avec N pas, on peut construire en tout 2^N trajectoires.

Carl_Friedrich_Gauss
Carl Friedrich Gauss

La probabilité d’arriver à l’abscisse a au bout de N pas est donc

P_N(a)=\frac{C_N^{n_g}}{2^N}.

or C_N^{n_g}=\frac{N!}{\left(n_g\right)!\left(N-n_g\right)!} donc :

P_N(a)=\frac{1}{2^N}\dfrac{N!}{\left(\frac{N-a}{2}\right)!\left(\frac{N+a}{2}\right)!}.

Limite pour un grand nombre de pas

En supposant que le nombre de pas N est très grand devant a, on peut utiliser la formule de Stirling :

N!\sim\sqrt{2\pi N}e^{-N}N^N.

On obtient alors, en utilisant la fonction logarithme et un développement limité à l’ordre 2 :

P_N(a)\sim \sqrt{\frac{2}{\pi N}} e^{-\frac{a^2}{2N}}.

Il s’agit d’une fonction gaussienne dont l’allure est la suivante :

Gaussienne

C’est vers ce type de fonction que tendent les histogrammes de l’article sur l’ivrogne lorsque le nombre de pas devient grand.

Écart quadratique

Plus généralement, la fonction gaussienne s’écrit :

f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}

avec \sigma l’écart-type de la fonction. Il s’agit d’une mesure de l’étalement de la gaussienne qui, dans l’exemple de l’ivrogne, prend la valeur \sigma=\sqrt N. Plus \sigma est petit, plus la fonction est piquée et plus \sigma est grand, plus elle est aplatie.

On retrouve bien le fait que cet étalement augmente avec la valeur de N ce qui rend compte du phénomène de diffusion.

Cet article résume une partie de l’ouvrage Thermodynamique écrit par M. Bertin, J.P. Faroux et J. Renault et dont le plan est le suivant :

  1. Quelques notions indispensables.
  2. Introduction à la thermodynamique.
  3. Propriétés thermoélastiques des gaz parfaits.
  4. Théorie cinétique des gaz parfaits.
  5. Diffusion. Conduction de la chaleur. Théorie moléculaire pour les gaz.
  6. Aspect microscopique de l’équilibre thermique, facteur de Boltzmann.
  7. L’énergie interne et le premier principe de la thermodynamique.
  8. Propriétés énergétiques des gaz parfaits.
  9. L’entropie et le second principe de la thermodynamique.
  10. Machines thermiques. Notion d’énergie utilisable.
  11. Potentiels thermodynamiques.
  12. Gaz réels.
  13. Changement de phase des corps purs.
  14. Systèmes binaires.
  15. Thermochimie.
  16. Équilibres chimiques.

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