Datée entre 2000 et 1600 av. J.C., YBC 7289 de son doux nom, est la plus vieille trace d’utilisation de mathématiques par l’humanité. La tablette en argile de 8 cm de diamètre et de 8 mm d’épaisseur a été écrite par un scribe de la première dynastie babylonienne. Elle représente notamment le nombre \sqrt{2} avec une très grande précision.

contrat
Tablette sumérienne comportant le contrat de vente d’un champ et d’une maison. L’écriture cunéiforme sur tablette d’argile est utilisée depuis au moins le IVe millénaire avant J.C.
 

La numération mésopotamienne

Au IIIe millénaire avant J.C., la constitution d’empires tels que ceux d’Akkad et d’Ur entraine l’unification et la simplification du système numérique. Des calculs simples sont alors inscrits sur des tablettes afin de faciliter des activités comme la construction ou les travaux agricoles. Peu à peu apparaît ce qui deviendra la numération mésopotamienne reposant sur un compromis entre la base 10 et la base 60.

uruk
Tablette datant de 3000 avant J.C. enregistrant la distribution de bières.
 

Les 59 premiers nombres sont représentés en base 10. Des clous

60

sont utilisés pour l’unité et des chevrons

10

pour les dizaines.

Le tableau complet des 59 premiers nombres est donc le suivant :

cunéiforme

 

Ainsi les nombres 12, 30 et 58 s’écrivent :

expl-cuneiforme

Au-delà de 59, c’est la base 60 qui est utilisée. Permettant de calculer des fractions rapidement, 60 étant multiple de 2, 3, 4, 5 et 6, cette base se retrouve de nos jours dans les notations d’angle 360° = 6 × 60° ainsi que dans le découpage de l’heure : une heure = 60 minutes = 60² secondes.

Ainsi 11327 = 3×60² + 8×60 + 47 s’écrit en juxtaposant les nombres 3, 8 et 47 :

expl2-cunéiforme

Pour les nombres à virgule, on utilise les puissances négatives de 60 : 1/60, 1/60² etc. Ainsi 7000,2525 = 1×60² + 56×60 + 40×1 + 15/60 + 9/60²  s’écrit en juxtaposant les nombres 1, 56, 40, 15 et 9 :

expl3-cunéiforme

Le lecteur doit donc savoir à l’avance la position des unités et des différentes puissances de 60 ce qui peut poser des problèmes d’interprétation.

La racine carrée de deux

Ybc7289

Sur la tablette YBC 7289, on remarque une suite de nombres très intéressante : 1, 24, 51 et 10. Si l’on suppose que la virgule se situe entre le 1 et le 24, on obtient en effet :

1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³ = 1,41421296

ce qui constitue une très bonne approximation de

√2 = 1,41421356.

racine-deux

 

Les mésopotamiens savaient donc calculer la diagonale d’un carré connaissant son côté, et ce avec une précision qui ne sera à nouveau atteinte que 2500 ans plus tard.

La manière dont cette approximation a été effectuée reste un mystère. On imagine que des techniques telles que la méthode géométrique de Héron ont été utilisées.

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